אלי נולד בירושלים וגדל בתל אביב, בוגר בית הספר היסודי "הכרמל" ותיכון עירוני א'. עם פרוץ מלחמת העצמאות בשנת 1948 התגייס לנח"ל עם חבריו מגרעין הצופים. לאחר הכשרה חקלאית קצרה ייסדה הקבוצה את קיבוץ תל קציר שבעמק הירדן, בסמוך לגבול עם סוריה. בתל קציר נישאו אלי ודליה, חברתו מגרעין הצופים החדש. באוקטובר 1953 עזבו בני הזוג את הקיבוץ ועברו להתגורר בתל אביב.

באותה שנה, החל אלי הורביץ את דרכו בתעשייה כשוטף כלים בחברת התרופות אסיא ולאחר סיום לימודיו שולב בהדרגה בהנהלת החברה. תוך ראייה ארוכת טווח לחשיבות של מובילוּת בשוק הישראלי וליצירת בסיס לפריסה בינלאומית עתידית הוא יזם את המיזוג של שלוש חברות פרמצבטיות ישראליות – אסיא, צורי וטבע – לחברה אחת, טבע תעשיות פרמצבטיות, שהוא מונה למנהלה בשנת 1976.

בתקופת כהונתו הארוכה כמנכ"ל וכיו"ר מועצת המנהלים של "טבע" הפגין אלי מנהיגות אסטרטגית יוצאת דופן בחדשנותה, שבאה לידי ביטוי ברכישות ובמיזוגים של מפעלי תרופות ברחבי העולם, ובאימוץ תרבות של מצוינות בכל מקום בו פעלה. כך הפכה "טבע" למפעל התרופות הגדול בישראל, ובהמשך גם לחברה הגנרית הגדולה בעולם. 

תחושת המעורבות החברתית וערכי ההומניזם שבהם האמין אלי, עמדו ברקע התגייסותו לטובת גופים ציבוריים רבים ומגוונים, ובתוכם גם לצבא. כך, השתתף אלי כחייל קרבי בכל מלחמות ישראל, ומדרגת טוראי במלחמת העצמאות הגיע אלי, במסגרת שירותו במילואים, לדרגת סגן אלוף וסגן מפקד אגד ארטילרי במלחמת לבנון הראשונה, לאחריה השתחרר מצה"ל.

ההכרה ביכולותיו הנדירות של אלי כמנהיג וכאסטרטג תרמה לבחירתו לתפקידים ציבוריים רבים לצד עבודתו בטבע. כנשיא התאחדות התעשיינים שימש בתפקיד מפתח בכינונה של התוכנית ההיסטורית לייצוב המשק (1986). הוא כיהן, בין השאר, כיו"ר חבר הנאמנים במכון וייצמן, כחבר במועצה הבינלאומית של מרכז בלפר למדע ויחסים בינלאומיים בבית הספר לממשל ע"ש קנדי באוניברסיטת הרווארד (2002-2005) וכיו"ר הוועדה – "ישראל 2028" שמסקנותיה פורסמו והוגשו לראש הממשלה תחת הכותרת: "ישראל 2028 חזון ואסטרטגיה כלכלית חברתית בעולם גלובלי".

פעילותו הציבורית והתעשייתית הענפה זיכתה את אלי בשורה ארוכה של פרסים מטעם גופים אקדמיים וציבוריים הוא נשא בששה תארי דוקטור כבוד ובאפריל 2002 הוענק לו פרס ישראל על מפעל חיים – תרומה מיוחדת לחברה ולמדינה.

קשר מיוחד היה לאלי עם המכון הישראלי לדמוקרטיה. אלי ראה במכון מפעל חשוב שמחזק את הדמוקרטיה הישראלית. הוא ייחס חשיבות רבה למאמצי המכון לסייע לדרג מקבלי ההחלטות להגיע להחלטות בצורה מושכלת יותר ולהוציא לפועל מדיניות איכותית המבוססת על מחקר, חשיבה ותכנון, לטובת כלל החברה בישראל.

במשך שש שנים עמד אלי בראש הוועד המנהל הישראלי של המכון, ועד לשנתו האחרונה היה חבר קבוע בפורום קיסריה.

אלי הורביץ, יליד שנת 1932, נפטר ב-21 בנובמבר 2011, בגיל 79.